The Frobenius problem for generalized repunit numerical semigroups

Abstract

En este trabajo introducimos y estudiamos los semigrupos numéricos generados por {a1, a2, . . .} ⊂ N tales que a1 es el número repetido en base b > 1 de longitud n > 1 y ai - ai-1 = a bi-2, para cada i ≥ 2, donde a es un entero positivo relativamente primo con a1. Estos semigrupos numéricos generalizan los semigrupos numéricos repetidos entre muchos otros. Demostramos que tienen propiedades interesantes como ser homogéneos y Wilf. Además, resolvemos el problema de Frobenius para esta familia, dando una fórmula cerrada para el número de Frobenius en términos de a, b y n, y calculamos otros invariantes usuales como los conjuntos de Apery, el género o el tipo.

In this paper, we introduce and study the numerical semigroups generated by {a1, a2, . . .} ⊂ N such that a1 is the repunit number in base b > 1 of length n > 1 and ai − ai−1 = a bi−2, for every i ≥ 2, where a is a positive integer relatively prime with a1. These numerical semigroups generalize the repunit numerical semigroups among many others. We show that they have interesting properties such as being homogeneous and Wilf. Moreover, we solve the Frobenius problem for this family, by giving a closed formula for the Frobenius number in terms of a, b and n, and compute other usual invariants such as the Apery sets, the genus or the type.