First-encounter time of two diffusing particles in confinement

Abstract

Investigamos cómo el confinamiento puede cambiar drásticamente tanto la densidad de probabilidad del tiempo de primer encuentro de dos partículas difusivas, como la probabilidad de supervivencia asociada. A fin de obtener una comprensión cuantitativa de este problema mediante fórmulas analíticas, nos centramos en dos configuraciones unidimensionales: una semilínea y un intervalo. Consideramos primero el caso de difusividades iguales para ambas partículas. Aquí se pueden obtener resultados exactos tanto para la probabilidad de supervivencia, como para la densidad del tiempo del primer encuentro asociada. También evaluamos los momentos del tiempo de primer encuentro cuando estos existen. Luego pasamos al caso con difusividades desiguales y nos centramos en el comportamiento a tiempos largos de la probabilidad de supervivencia. Nuestros resultados subrayan el gran impacto de los efectos de frontera sobre la cinética controlada por difusión incluso en sistemas unidimensionales simples, así como la dificultad de obtener resultados analíticos en cuanto se rompe la invariancia translacional de los mismos.

We investigate how confinement may drastically change both the probability density of the first-encounter time and the associated survival probability in the case of two diffusing particles. To obtain analytical insights into this problem, we focus on two one-dimensional settings: a half-line and an interval. We first consider the case with equal particle diffusivities, for which exact results can be obtained for the survival probability and the associated first-encounter time density valid over the full time domain. We also evaluate the moments of the first-encounter time when they exist. We then turn to the case with unequal diffusivities and focus on the long-time behavior of the survival probability. Our results highlight the great impact of boundary effects in diffusion-controlled kinetics even for simple one-dimensional settings, as well as the difficulty of obtaining analytic results as soon as the translational invariance of such systems is broken.