First-passage properties of mortal random walks: Ballistic behavior, effective reduction of dimensionality, and scaling functions for hierarchical graphs

Abstract

Consideramos un caminante aleatorio mortal sobre una familia de grafos jerárquicos en presencia de algunos nodos- trampa. La configuración que comprende el grafo, el punto de partida de la caminata y las ubicaciones de los nodos-trampa se caracteriza por su autosemejanza exacta cuando uno pasa de una generación de la familia a la siguiente. En estas circunstancias, la probabilidad total de que el caminante caiga en una trampa se determina exactamente como una función de la probabilidad de supervivencia q tras un solo paso del caminante mortal. En el grafo de enésima generación de la familia, se muestra que esta probabilidad está dada por la enésima iteración de una determinada función de escala o aplicación q → f (q). Las propiedades de la aplicación determinan entonces, en cada caso, el comportamiento de la probabilidad de captura, el tiempo medio hasta la captura, el factor de escala temporal que rige la dimensión de la caminata aleatoria en el grafo, y otras propiedades relacionadas. El formalismo se ilustra para los casos de una red jerárquica lineal y los grafos de Sierpinski en dos y tres dimensiones euclidianas. Encontramos una reducción efectiva de la dimensionalidad de la caminata aleatoria debido al comportamiento balístico de las partículas supervivientes inducido por la restricción de mortalidad. Discutimos la relevancia de este hallazgo para experimentos que involucran tiempos de viaje de partículas en sistemas de partículas difusivas sujetas a decaimiento/muerte/desintegración.

We consider a mortal random walker on a family of hierarchical graphs in the presence of some trap sites. The configuration comprising the graph, the starting point of the walk, and the locations of the trap sites is taken to be exactly self-similar as one goes from one generation of the family to the next. Under these circumstances, the total probability that the walker hits a trap is determined exactly as a function of the single-step survival probability q of the mortal walker. On the nth generation graph of the family, this probability is shown to be given by the nth iterate of a certain scaling function or map q → f (q). The properties of the map then determine, in each case, the behavior of the trapping probability, the mean time to trapping, the temporal scaling factor governing the random walk dimension on the graph, and other related properties. The formalism is illustrated for the cases of a linear hierarchical lattice and the Sierpinski graphs in two and three Euclidean dimensions. We find an effective reduction of the random walk dimensionality due to the ballistic behavior of the surviving particles induced by the mortality constraint. The relevance of this finding for experiments involving travel times of particles in diffusion-decay systems is discussed.