Continuous time random walk in a velocity field: role of domain growth, Galilei-invariant advection-diffusion, and kinetics of particle mixing

Abstract

Consideramos la dinámica emergente de un paseo aleatorio en tiempo continuo separable (CTRW) en el caso en el que el caminante aleatorio está sesgado por un campo de velocidad en un dominio que crece uniformemente. Ejemplos concretos de tales dominios incluyen células biológicas en crecimiento o vesículas lipídicas, biopelículas y tejidos, pero también sistemas macroscópicos como acuíferos en expansión durante los períodos de lluvias, o el propio Universo en expansión. El CTRW en este estudio puede ser subdifusivo, difusivo normal o superdifusivo, incluido el caso particular de un vuelo de Lévy. Consideramos primero el caso en el que el el campo de velocidad está ausente. En el caso subdifusivo, revelamos una interesante dependencia temporal de la curtosis de la función de densidad de probabilidad de partículas. En particular, para una elección de parámetro adecuada, encontramos que el propagador, que tiene cola larga a tiempos cortos, puede ir evolucionando a uno de tipo pseudogaussiano. Posteriormente incorporamos el efecto del campo de velocidad y deduciomos una ecuación de difusión-advección bifraccional que codifica la evolución temporal de la distribución de partículas. Aplicamos esta ecuación para estudiar la cinética de mezcla de dos pulsos de difusión, cuyos picos se mueven el uno hacia el otro bajo la acción de campos de velocidad que actúan en direcciones opuestas. Este movimiento determinista de los picos, junto con la difusión difusiva de cada pulso, tiende a aumentar el mezclado de partículas, contrarrestando así la separación inducida por el crecimiento del dominio. Como resultado de esta competencia entre efectos opuestos, surgen diferentes regímenes de mezclado. En el caso de los vuelos de Lévy, además de un régimen sin mezclado, uno tiene dos regímenes de mezclado diferentes en el límite de tiempo largo, dependiendo de la elección exacta del parámetro: en uno de estos regímenes, el mezclado es impulsado principalmente por la difusión, mientras que en el otro el mezclado está controlado por los campos de velocidad que actúan sobre cada pulso. Se discuten posibles implicaciones para reacciones controladas por encuentro en sistemas reales.

We consider the emerging dynamics of a separable continuous time random walk (CTRW) in the case when the random walker is biased by a velocity field in a uniformly growing domain. Concrete examples for such domains include growing biological cells or lipid vesicles, biofilms and tissues, but also macroscopic systems such as expanding aquifers during rainy periods, or the expanding Universe. The CTRW in this study can be subdiffusive, normal diffusive or superdiffusive, including the particular case of a Lévy flight.We first consider the case when the velocity field is absent. In the subdiffusive case, we reveal an interesting time dependence of the kurtosis of the particle probability density function. In particular, for a suitable parameter choice, we find that the propagator, which is fat tailed at short times, may cross over to a Gaussian-like propagator.We subsequently incorporate the effect of the velocity field and derive a bi-fractional diffusion-advection equation encoding the time evolution of the particle distribution. We apply this equation to study the mixing kinetics of two diffusing pulses, whose peaks move towards each other under the action of velocity fields acting in opposite directions. This deterministic motion of the peaks, together with the diffusive spreading of each pulse, tends to increase particle mixing, thereby counteracting the peak separation induced by the domain growth. As a result of this competition, different regimes of mixing arise. In the case of Lévy flights, apart from the non-mixing regime, one has two different mixing regimes in the long-time limit, depending on the exact parameter choice: in one of these regimes, mixing is mainly driven by diffusive spreading, while in the other mixing is controlled by the velocity fields acting on each pulse. Possible implications for encounter–controlled reactions in real systems are discussed.