First-encounter time of two diffusing particles in two- and three-dimensional confinement

Abstract

Las estadísticas del momento del primer encuentro de partículas difusivas cambian drásticamente cuando se colocan bajo confinamiento. En el presente trabajo, utilizamos simulaciones de Monte Carlo para estudiar el comportamiento de un sistema de partículas en dominios bidimensionales y tridimensionales con fronteras reflectantes. En base al resultado de las simulaciones, damos una visión exhaustiva del comportamiento de la probabilidad de supervivencia S(t ) y de la densidad de probabilidad de tiempo del primer encuentro H (t) asociada en un amplio rango de tiempos que abarca varias décadas. Además, proporcionamos estimaciones numéricas y fórmulas empíricas para el tiempo medio del primer encuentro〈T *〉, así como para el tiempo de decaimiento T que caracteriza la caída monoexponencial de la probabilidad de supervivencia en el régimen de tiempos largos. Basándonos en la distancia entre la frontera y el centro de masas de las dos partículas, obtenemos un límite inferior empírico t_B para el momento en el que S(t ) comienza a desviarse significativamente de su contraparte para el caso libre (sin fronteras). Sorprendentemente, para partículas de tamaño pequeño, la contribución dominante a T depende sólo de la difusividad total D = D_1 + D_2, en marcado contraste con el caso unidimensional. Esta contribución puede estar relacionada con la salchicha de Wiener generada por una partícula browniana ficticia con difusividad D. En dos dimensiones, se encontró que la primera contribución subdominante a T depende débilmente de la relación D_1/D_2. También investigamos el límite de difusión lenta cuando D_2 <<D1, y discutimos la transición al caso límite en el que una de las partículas se convierte en un blanco inmóvil. Finalmente, damos algunas indicaciones para anticipar cuándo se puede esperar que T sea una buena aproximación para 〈T* 〉.

The statistics of the first-encounter time of diffusing particles changes drastically when they are placed under confinement. In the present work, we make use of Monte Carlo simulations to study the behavior of a two- particle system in two- and three-dimensional domains with reflecting boundaries. Based on the outcome of the simulations, we give a comprehensive overview of the behavior of the survival probability S(t) and the associated first-encounter time probability density H(t) over a broad time range spanning several decades. In addition, we provide numerical estimates and empirical formulas for the mean first-encounter time <T*〉, as well as for the decay time T characterizing the monoexponential long-time decay of the survival probability. Based on the distance between the boundary and the center of mass of two particles, we obtain an empirical lower bound tB for the time at which S(t ) starts to significantly deviate from its counterpart for the no boundary case. Surprisingly, for small-sized particles, the dominant contribution to T depends only on the total diffusivity D = D_1 + D_2 , in sharp contrast to the one-dimensional case. This contribution can be related to the Wiener sausage generated by a fictitious Brownian particle with diffusivity D. In two dimensions, the first subleading contribution to T is found to depend weakly on the ratio D_1/D_2 . We also investigate the slow-diffusion limit when D_2 <<D_1 , and we discuss the transition to the limit when one particle is a fixed target. Finally, we give some indications to anticipate when T can be expected to be a good approximation for 〈T*〉.