Diffusion of intruders in granular suspensions: Enskog theory and random walk interpretation

Abstract

La teoría cinética de Enskog se aplica para calcular el desplazamiento cuadrático medio de impurezas o intrusos (modelados como esferas duras lisas e inelásticas) sumergidos en un gas granular de esferas duras lisas e inelásticas (granos). Ambas especies (intrusos y granos) están rodeadas por un gas molecular intersticial (fondo) que juega el papel de un baño térmico. La influencia de este último sobre el movimiento de intrusos y granos se modela mediante una fuerza de arrastre viscosa estándar complementada por una fuerza estocástica similar a la de Langevin y proporcional a la temperatura de fondo. Resolvemos la correspondiente ecuación cinética de Enskog-Lorentz mediante un desarrollo de Chapman-Enskog truncado a primer orden en el gradiente de la densidad numérica de intrusos. La ecuación integral para el coeficiente de difusión se resuelve considerando las dos primeras aproximaciones de Sonine. Para verificar estos resultados, también calculamos el coeficiente de difusión a partir de la solución numérica de la ecuación inelástica de Enskog mediante el método de simulación directa de Monte Carlo. Encontramos que la primera aproximación de Sonine generalmente concuerda bien con los resultados de la simulación, aunque surgen discrepancias significativas cuando los intrusos se vuelven más livianos que los granos. Estas discrepancias se mitigan en gran medida mediante el uso de la segunda aproximación de Sonine, en excelente acuerdo. con simulaciones por computador incluso para inelasticidades moderadamente fuertes y/o cocientes de masas y de diámetros diferentes. Hacemos uso de una descripción de tipo caminata aleatoria del movimiento de los intrusos para arrojar luz sobre la física subyacente a la intrincada dependencia del coeficiente de difusión de los principales parámetros del sistema. Este enfoque, empleado recientemente para estudiar el caso de un intruso sumergido en un gas granular, también resulta útil en el presente caso de una suspensión granular. Finalmente, discutimos la aplicabilidad de nuestro modelo a sistemas reales en el caso de la autodifusión. Concluimos que los efectos colisionales pueden afectar fuertemente al coeficiente de difusión de los granos.

The Enskog kinetic theory is applied to compute the mean square displacement of impurities or intruders (modeled as smooth inelastic hard spheres) immersed in a granular gas of smooth inelastic hard spheres (grains). Both species (intruders and grains) are surrounded by an interstitial molecular gas (background) that plays the role of a thermal bath. The influence of the latter on the motion of intruders and grains is modeled via a standard viscous drag force supplemented by a stochastic Langevin-like force proportional to the background temperature. We solve the corresponding Enskog-Lorentz kinetic equation by means of the Chapman-Enskog expansion truncated to first order in the gradient of the intruder number density. The integral equation for the diffusion coefficient is solved by considering the first two Sonine approximations. To test these results, we also compute the diffusion coefficient from the numerical solution of the inelastic Enskog equation by means of the direct simulation Monte Carlo method. We find that the first Sonine approximation generally agrees well with the simulation results, although significant discrepancies arise when the intruders become lighter than the grains. Such discrepancies are largely mitigated by the use of the second Sonine approximation, in excellent agreement with computer simulations even for moderately strong inelasticities and/or dissimilar mass and diameter ratios. We invoke a random walk picture of the intruders’ motion to shed light on the physics underlying the intricate dependence of the diffusion coefficient on the main system parameters. This approach, recently employed to study the case of an intruder immersed in a granular gas, also proves useful in the present case of a granular suspension. Finally, we discuss the applicability of our model to real systems in the self-diffusion case. We conclude that collisional effects may strongly impact the diffusion coefficient of the grains.