Teoremas Banach-Stone en espacios métricos

Abstract

En esta Tesis doctoral tratamos con espacios de funciones continuas, uniformemente continuas, de Lipschitz y diferenciables. Consideramos tanto isomorfismos de conjuntos ordenados como isomorfismos multiplicativos entre los espacios de funciones. Los resultados obtenidos muestran que en todos los casos existen homeomorfismos entre los espacios sobre los que están definidas las funciones y además damos representaciones puntuales de estos isomorfismos. Así, dos de los resultados más destacables son los siguientes:

• Teorema: Sean X e Y dos espacios métricos completos. Todo isomorfismo de conjuntos ordenados T: U(Y )→U(X) es de la forma Tf(x) = t(x, f(τ (x))), donde t : (x, c) ϵ X x R → t(x, c) = Tc(x) y τ : X →Y es un homeomorfismo uniforme.

• Teorema: Sean X e Y variedades diferenciables de dimensión finita y de clase k. Todo isomorfismo multiplicativo T: Cᵏ (Y) → Cᵏ(X) es de la forma Tf(x) = f(τ (x)), donde τ es un difeomorfismo de clase k de X en Y .

In this work we deal with spaces of continuous, uniformly continuous, Lipschitz and differentiable functions. We consider order isomorphisms between function spaces and also multiplicative isomorphisms. We will show that we can always find a homeomorphism between the underlying spaces and represent these isomorphisms pointwise. Two of the main results are the following:

• Theorem: Let X and Y be complete metric spaces. Every order isomorphism T : U(Y) →U(X) is Tf(x) = t(x, f(τ (x))), where t : (x, c) ϵ X x R → t(x, c) = Tc(x) and τ is a uniform homeomorphism between X and Y.

• Theorem: Let X and Y be finite dimensional class k differentiable manifolds. Every multiplicative isomorphism T : Cᵏ (Y) → Cᵏ (X) arises as Tf(x) = f(τ (x)), for some class k diffeomorphism τ : X → Y.