Energy and electromagnetism of a differential "k"-form

Abstract

Sea X un buen colector de dimensión 1 + n dotada de un g métrica de Lorentz. El tensor de energía de un 2-forma F se define localmente como Tₐb := −(FₐⁱFbᵢ − ¼ FⁱʲFᵢjgₐb). En este trabajo caracterizamos este tensor como el único tensor natural de 2-covariante asociada a una métrica de Lorentz y un 2-forma que es independiente de la unidad de escala y satisface ciertas condiciones en su divergencia. Esta caracterización está motivada por razones físicas, y se puede utilizar para justificar las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell. Más en general, se caracterizan de una manera similar el tensor de energía asociada a una forma diferencial de orden arbitrario "k". Por último, desarrollamos una teoría generalizada de electromagnetismo, donde las partículas cargadas no son puntuales, sino de una dimensión fija arbitraria p. En esta teoría, el campo electromagnético F es una forma diferencial de orden 2 + p y su tensor de energía electromagnética es precisamente el tensor de energía asociado a "F".

Let X be a smooth manifold of dimension 1 + n endowed with a Lorentzian metric g. The energy tensor of a 2-form F is locally defined as Tₐb := −(FₐⁱFbᵢ − ¼ FⁱʲFᵢjgₐb). In this paper we characterize this tensor as the only 2-covariant natural tensor associated to a Lorentzian metric and a 2-form that is independent of the unit of scale and satisfies certain condition on its divergence. This characterization is motivated on physical grounds, and can be used to justify the Einstein–Maxwell field equations. More generally, we characterize in a similar manner the energy tensor associated to a differential form of arbitrary order "k". Finally, we develop a generalized theory of electromagnetism where charged particles are not punctual, but of an arbitrary fixed dimension p. In this theory, the electromagnetic field "F" is a differential form of order 2 + p and its electromagnetic energy tensor is precisely the energy tensor associated to "F".