Completion of (LF)-Spaces

Abstract

Once the existance of metrizable (LF)-spaces was discovered by A. Grothendieck, the problem whether the completion of an (LF)-space is or is not an (LF)-space is answered in the negative, because no (LF)-space can be Frechet space. However, some (non-metrizable) (LF)-spaces are complete, e.g. the classical Köthe´s strict (LF)-spaces. In this paper we will carry out a thorough study of the completeness of (LF)-spaces stressing upon the rather stable completion properties of (LB)-spaces. A basic tool for handling this problem is an Open Mapping Theorem for completions of (LF)-spaces, proved as well in the paper.

Una vez descubierto de la mano de A. Grothendieck la existencia de los Espacios (LF) metrizables, el problema estaba en si la terminación de un Espacio (LF) es o no un Espacio (LF) y la respuesta fue negativa, ya que ningún Espacio (LF) puede ser un Espacio de Fréchet. Sin embargo, algunos Espacios (LF) (no-metrizables) están completos, por ejemplo, el clásico Espacio (LF) estricto de Köthe. En este artículo se lleva a cabo un estudio en profundidad de la exhaustividad de los Espacios (LF) haciendo hincapié en las propiedades de terminación estables de los Espacios (LB). Una herramienta básica para el manejo de este problema es un Teorema Abierto para terminaciones de Espacios (LF), demostrándolo así en este trabajo.