Métodos geométricos para aproximar raíces de polinomios, con aplicaciones a procesamiento de señal

Abstract

Los polinomios tienen una larga historia en matemáticas, ciencia e ingeniería. Es conocido que las raíces de polinomios de grado 2, 3 y 4 pueden obtenerse con ciertas fórmulas, y que no existen (usando radicales) para grados superiores. En la práctica se recurre a métodos numéricos para aproximar raíces. Los polinomios que aparecen en aplicaciones científicas y de ingeniería pueden ser de grado superior al centenar, por ejemplo en procesamiento digital de señal .

Los métodos se pueden clasificar en iterativos y geométricos. Los iterativos están basados en una sucesión de estimaciones de error y corrección que conduce a un punto del plano complejo tan cerca de una raíz como se quiera. Estos métodos son rápidos (convergencia más que lineal) y su análisis, es decir, la prueba de su corrección como algoritmo y la determinación de los recursos necesarios, se basa en técnicas numéricas bien conocidas. Por el contrario, los métodos geométricos se basan en la distribución de raíces en el plano complejo. Por ejemplo, acotan el módulo de las raíces, o las separan (es decir, definen regiones del plano que contienen precisamente una raíz).

Sin embargo los métodos iterativos no son fácilmente aplicables en la práctica a los polinomios que aparecen en las aplicaciones de procesamiento de señal. El objetivo de esta tesis es desarrollar, analizar y comparar un método geométrico de cálculo de raíces adecuado para polinomios de alto grado. Se basa en el índice de curvas planas (el número de vueltas).

The polynomials have a long history in mathematics, science and engineering. It is known that the roots of polynomials of degree 2, 3 and 4 can be obtained with certain formulas, and do not exist (using radical) above grade. In practice it uses numerical methods for approximating roots. Polynomials appearing in scientific and engineering applications can be higher than hundred degree, for example in digital signal processing.

The methods can be classified into iterative and geometric. Iterative are based on a series of estimates and correction of errors leading to a point of the complex plane as close to root as you want. These methods are fast (convergence rather than linear) and their analysis, ie testing and correction algorithm and the determination of the necessary resources, it is based on well known numerical techniques. By contrast, geometric methods are based on the distribution of roots in the complex plane. For example, delimit the root module, or separated (ie, the plane defined regions containing exactly one root).

However iterative methods are not easily applicable in practice polynomials appearing in signal processing applications. The objective of this thesis is to develop, analyze and compare a geometric method of calculating roots suitable for high-grade polynomials. It is based on the index of plane curves (the number of turns).