Espacios de "moduli" de "jets" de estructuras geométricas en un punto

Abstract

El problema de clasificación, sean cuales sean los entes que se desee clasificar, es un problema recurrente en Matemáticas, y, en particular, en Geometría Diferencial. Es el interés de esta memoria hablar del problema de equivalencia de “jets” en un punto de ciertas estructuras geométricas. Pensamos que este es un primer paso para poder abordar el problema más deseable de la clasificación local de tales estructuras. Precisando algo más el problema, JₚʳF denota el fibrado de “jets” de orden r de secciones del fibrado natural F→X de orden s, y Difₚʳ⁺ˢ es el grupo de los “jets” de orden r+s de difeomorfismos locales en la variedad diferenciable X que dejan fijo el punto p, se trata de dilucidar la naturaleza del siguiente cociente: JₚʳF / Difₚʳ⁺ˢ. Concretamente, en esta memoria, el fibrado F será el de las conexiones lineales en el capítulo 2, y el de las métricas en el capítulo 3. Nuestro modo de enfocar la cuestión presta especial atención al estudio de los invariantes diferenciales escalares de orden r asociados a la estructura geométrica que deseamos analizar; es decir, las funciones “diferenciables” reales definidas sobre el cociente JₚʳF / Difₚʳ⁺ˢ.

The problem of classification, no matter what the objects to be classified may be, is a ubiquitous problem in Mathematics –specially in Differential Geometry. The aim of this thesis is to focus on the equivalence of jets of certain geometrical structures at a point. We consider this might be a first step to study the more interesting problem of local classification of those structures. To be more precise, if we denote by JₚʳF the fiber bundle of r-jets of sections of the natural bundle F→X of order s, and Difₚʳ⁺ˢ stands for the group of (r+s)-jets of local diffeomorphisms in the smooth manifold X leaving the point p fixed, our problem consists in analyzing the nature of the following quotient space: JₚʳF / Difₚʳ⁺ˢ. In particular, in this work, the bundle F is that of linear connections (in chapter 2), and that of metrics (in chapter 3). Our way to deal with the question above pays special attention to the study of differential invariants of order r associated to the geometric structures we wish to analyze; that is, “differentiable” real functions on the quotient JₚʳF / Difₚʳ⁺ˢ.