Resultados límite de probabilidad y estadística en procesos de ramificación

Abstract

La presente tesis se enmarca dentro del campo de los Procesos Estocásticos de Markov y más concretamente, en la teoría sobre Procesos de Ramificación, la cual proporciona modelos matemáticos para la descripción de la evolución probabilística de sistemas cuyos componentes, tras un cierto periodo de vida, se reproducen y mueren. Entre los modelos en tiempo discreto destacan los procesos de ramificación controlados, que constituyen el eje central del presente trabajo. Estos procesos permiten modelizar la evolución de poblaciones en las que el número de progenitores puede diferir del número de individuos en cada generación. El desarrollo de este tipo de poblaciones consiste en dos fases diferenciadas en cada generación: la fase control, durante la cual se establece el número de progenitores, y la fase de reproducción, en la que dichos progenitores originan su descendencia. En esta tesis se plantean dos objetivos fundamentales: completar el desarrollo de la teoría inferencial para procesos de ramificación controlados e introducir y estudiar nuevos procesos de ramificación controlados. En primer lugar, se plantea el problema de determinar los estimadores máximos verosímiles para los parámetros del modelo bajo distintos esquemas muestrales, así como abordar su estimación robusta (tanto desde el punto de vista frecuentista como bayesiano) haciendo uso de las medidas de disparidad. Desde una perspectiva bayesiana, se analiza también el problema de la estimación considerando la metodología de Computación Bayesiana Aproximada. Finalmente, se estudia un nuevo proceso que generaliza el proceso de ramificación controlado, prestando especial atención a la descripción de su comportamiento límite.

The current dissertation belongs to the field of Markov Stochastic Processes and more specifically, to the theory of Branching Processes, which provides mathematical models for the description of the probabilistic evolution of systems whose components, after a period of life, reproduce and die. Within the class of discrete time branching processes, it is worthwhile to highlight the controlled branching process, whose study constitutes the main purpose of this thesis. These processes can be used to model the evolution of populations in which the number of progenitors might differ from the number of individuals in each generation. Thus, the development of these populations consists of two different phases in each generation: the control phase, when the number of progenitors is determined, and the reproduction phase, when each of those progenitors gives rise to their offspring. In this thesis, two main objectives are contemplated: to complete the statistical inference for controlled branching processes and to introduce and study new controlled branching processes. First, the problem of determining the maximum likelihood estimators for the parameters of the model under different sample schemes is considered. Moreover, in the frequentist and in Bayesian frameworks, their robust estimation is dealt with by making use of disparity measures. From a Bayesian perspective, the estimation of the main parameters is also analysed by considering Approximate Bayesian Computation methodology. Finally, a new process that generalizes the controlled branching process with random control functions is studied.