A simple model kinetic equation for inelastic Maxwell particles

Abstract

El modelo de partículas inelásticas de Maxwell (IMP) permite que se deriven algunos resultados exactos que muestren la fuerte influencia de la inelasticidad de las propiedades de no equilibrio de un gas granular. El objetivo de este trabajo es proponer una ecuación cinética del modelo simple que conserva las propiedades más relevantes de la ecuación de Boltzmann (BE) para IMP y reduce al modelo cinético BGK en el límite elástico. En el modelo cinético propuesto el operador de colisión se sustituye por un período de tiempo de relajación hacia una distribución de Maxwell de referencia más un término que representa la acción de una fuerza de fricción. Contiene tres parámetros (la velocidad de relajación, la temperatura efectiva de la referencia de Maxwell, y el coeficiente de fricción) que se determinan mediante la imposición de coherencia con propiedades exactas básicas de la BE para IMP. Como consecuencia, el modelo cinético reproduce la verdadera viscosidad de cizallamiento y predice expresiones exactas para los coeficientes de transporte asociados con el flujo de calor. El modelo puede resolverse exactamente para el estado de enfriamiento homogéneo, la solución que presenta una cola de alta energía algebraica con un exponente de acuerdo razonable y correcto.

The model of inelastic Maxwell particles (IMP) allows one to derive some exact results which show the strong influence of inelasticity on the nonequilibrium properties of a granular gas. The aim of this work is to propose a simple model kinetic equation that preserves the most relevant properties of the Boltzmann equation (BE) for IMP and reduces to the BGK kinetic model in the elastic limit. In the proposed kinetic model the collision operator is replaced by a relaxation-time term toward a reference Maxwellian distribution plus a term representing the action of a friction force. It contains three parameters (the relaxation rate, the effective temperature of the reference Maxwellian, and the friction coefficient) which are determined by imposing consistency with basic exact properties of the BE for IMP. As a consequence, the kinetic model reproduces the true shear viscosity and predicts accurate expressions for the transport coefficients associated with the heat flux. The model can be exactly solved for the homogeneous cooling state, the solution exhibiting an algebraic high-energy tail with an exponent in fair agreement with the correct one.