Análisis cualitativo del modelo de sodio persistente

Abstract

En el presente trabajo vamos a hacer una introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales escalares para, posteriormente, aplicar dicha teoría al estudio de un modelo concreto, el Modelo de Sodio Persistente. En el primer capítulo describiremos, gracias a una revisión bibliográfica, la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales recogiendo los principales resultados y definiciones para ecuaciones diferenciales de primer orden autónomas unidimensionales. Estudiaremos la existencia, unicidad y prolongación de soluciones de una ecuación diferencial. Además, veremos el flujo desde un punto de vista geométrico, se introducirá el concepto de estabilidad de equilibrios y algunos resultados para determinar el flujo cerca de un punto de equilibrio. A continuación, considerando varios flujos, estudiaremos su equivalencia topológica y finalmente, trataremos el estudio de posibles cambios en la estructura cualitativa del flujo de una ecuación diferencial. En el segundo capítulo abordaremos una descripción del modelo sobre el que vamos a realizar el estudio, el Modelo de Sodio Persistente. Estudiaremos cualitativamente dicho modelo, para lo que nos ayudaremos de las definiciones y resultados principales tratados en el capítulo anterior. Dicho estudio comienza con el análisis de los puntos de equilibrio de nuestro sistema dinámico y del comportamiento de las soluciones alrededor de dichos puntos. A continuación, veremos la equivalencia topológica de nuestro modelo según vamos variando algunos parámetros, realizaremos el análisis de bifurcación de nuestro sistema dinámico viendo cómo cambia cualitativamente y finalmente, consideraremos nuestro modelo cuando la corriente no es constante para ver cómo se comportan las soluciones. Finalmente, se presenta un apéndice donde mostramos la hoja de trabajo que hemos generado haciendo uso de SageMath para el segundo capítulo.

In this project we will introduce the qualitative theory of scalar differential equations and then apply this theory to the study of a specific model, the Persistent Sodium Model. In the first chapter we will describe, thanks to a literature review, the qualitative theory of differential equations by collecting the main results and definitions for one-dimensional autonomous first-order differential equations. We will study the existence, uniqueness and prolongation of solutions of a differential equation. In addition, we will look at the flow from a geometrical point of view, introduce the concept of stability of equilibria and some results to determine the flow near an equilibrium point. Then, considering several flows, we will study their topological equivalence and finally, we will assess the study of possible changes in the qualitative structure of the flow of a differential equation. In the second chapter, we will discuss a description of the model on which the study will be based, the Persistent Sodium Model. We will study this model qualitatively, using the definitions and main results discussed in the previous chapter. This study begins with the analysis of the equilibrium points of our dynamical system and the behaviour of the solutions around these points. Next, we will see the topological equivalence of our model as we vary some parameters, we will carry out the bifurcation analysis of our dynamical system to see how it changes qualitatively, and finally, we will consider our model when the current is not constant to see how the solutions behave. Finally, an appendix is shown, where we present the worksheet we have generated using SageMath for the second chapter.