Approximate Bayesian computation approach on the maximal offspring and parameters in controlled branching processes

Abstract

Nuestro objetivo es estimar la distribución posterior de los parámetros de interés para los procesos de ramificación controlada (CBP) sin conocer a priori el número máximo de descendientes. procesos de ramificación controlados (CBP) sin conocimiento previo del número máximo de descendientes que puede parir un individuo y sin cálculos explícitos de verosimilitud. Consideramos que sólo se observan los tamaños de población en cada generación y al menos el número de progenitores de progenitores de la última generación, pero se desconoce el número de descendientes producidos en cualquier generación. El enfoque propuesto es doble. En primer lugar, para estimar la progenie máxima por individuo utilizamos un algoritmo de cálculo bayesiano aproximado (ABC) para la elección del modelo. (ABC) para la elección del modelo y basado en el muestreo de importancia secuencial con los datos brutos. En segundo lugar, dada dicha estimación y aprovechando los valores simulados de la etapa anterior, aproximamos la distribución posterior de los principales parámetros de un CBP aplicando el algoritmo ABC de rechazo con un estadístico resumen adecuado y un ajuste posterior. La precisión del método propuesto se ilustra mediante de ejemplos simulados desarrollados con el software estadístico R. Además, aplicamos la metodología a dos conjuntos de datos reales que describen poblaciones con crecimiento logístico. Para ello se proponen por primera vez diferentes modelos de crecimiento poblacional basados en CBP.

Our purpose is to estimate the posterior distribution of the parameters of interest for controlled branching processes (CBPs) without prior knowledge of the maximum number of offspring that an individual can give birth to and without explicit likelihood calculations. We consider that only the population sizes at each generation and at least the number of progenitors of the last generation are observed, but the number of offspring produced by any individual at any generation is unknown. The proposed approach is twofold. Firstly, to estimate the maximum progeny per individual we make use of an approximate Bayesian computation (ABC) algorithm for model choice and based on sequential importance sampling with the raw data. Secondly, given such an estimate and taking advantage of the simulated values of the previous stage, we approximate the posterior distribution of the main parameters of a CBP by applying the rejection ABC algorithm with an appropriate summary statistic and a post-processing adjustment. The accuracy of the proposed method is illustrated by means of simulated examples developed with the statistical software R. Moreover, we apply the methodology to two real datasets describing populations with logistic growth. To this end, different population growth models based on CBPs are proposed for the first time.