Algèbres topologiques algèbriques

Abstract

Se demuestra que un álgebra de Banach es algebraica si, y sólo si, su radical de Jacobson es nilpotente y de codimensión finita. En este artículo, nos ubicamos en un marco topológico general. Mostramos la validez del resultado anterior en el caso de un álgebra topológica, no necesariamente completa, conmutativa y de Baire. Obtenemos, además, una descomposición de tal álgebra en un producto finito de álgebras topológicas locales. También se establece una equivalencia, en el caso norma, entre la algebraicidad del álgebra y la condición de la cadena descendente para algunos de sus ideales.

It is shown that a Banach algebra is algebraic if and only if its Jacobson radical is nilpotent and of finite codimension. In this article, we place ourselves in a general topological framework. We show the validity of the previous result in the case of a topological algebra, not necessarily complete, commutative and Baire. We also obtain a decomposition of such an algebra into a finite product of local topological algebras. An equivalence is also established, in the norm case, between the algebraicity of the algebra and the descending chain condition for some of its ideals.

Dans, il est montré qu’une alg`ebre de Banach est alg ́ebrique si, et seulement si, son radical de Jacobson est nilpotent et de codimension finie. Dans ce papier, nous nous pla ̧cons dans un cadre topologique g ́en ́eral. Nous montrons la validité du résultat ci-dessus dans le cas d’une alg`ebre topologique, non n ́ecessairement compléte, commutative et de Baire. Nous obtenons, par ailleurs, une d ́ecomposition d’une telle alg`ebre en produit fini d’alg`ebres topologiques locales. Une ́equivalence est ́egalement ́etablie, dans le cas norm ́e, entre l’algébricité de l’alg`ebre et la condition de la chaine descendante pour certains de ses id ́eaux.