A natural correspondence between quasiconcave functions and fuzzy norms

Abstract

In this note we show that the usual notion of fuzzy norm defined on a linear space is equivalent to that of quasiconcave function, in the sense that every fuzzy norm N : X × R → [0, 1] defined on a (real or complex) linear space X is uniquely determined by a quasiconcave function f : X → [0, 1]. We explore the minimum requirements that we need to impose to some quasiconcave function f : X → [0, 1] in order to define a fuzzy norm N : X × R → [0, 1]. Later we use this equivalence to prove some properties of fuzzy norms, like a generalisation of the celebrated Decomposition Theorem.

En esta nota mostramos que la noción habitual de norma difusa definida en un espacio lineal es equivalente a la de función cuasicóncava, en el sentido de que toda norma difusa N : X × R → [0, 1] definida en un espacio (real o complejo) ) el espacio lineal X está determinado únicamente por una función cuasicóncava f : X → [0, 1]. Exploramos los requisitos mínimos que debemos imponer a alguna función cuasicóncava f : X → [0, 1] para definir una norma difusa N : X × R → [0, 1]. Posteriormente utilizamos esta equivalencia para demostrar algunas propiedades de normas difusas, a modo de generalización del célebre Teorema de Descomposición.