Integración en variedades diferenciales

Abstract

En la asignatura Geometría diferencial II del Grado en Matemáticas, se estudian las variedades diferenciables junto al espacio tangente y posteriormente el fibrado tangente. No llega a introducirse en la teoría de integración sobre variedades diferenciables. En esta memoria lo haremos, estudiando para ello las variedades diferenciables con borde, las cuales han sido vistas en la mencionada asignatura, pero no con la profundidad necesaria para el desarrollo de nuestra memoria. Introduciremos la noción de “variedad diferenciable con borde”, la cual generaliza la noción de variedad diferenciable estudiada en el grado. Luego desarrollaremos para dichas variedades los resultados conocidos del caso regular: espacios tangentes, campos vectoriales, campos tensoriales, subvariedades, . . . . Seguidamente veremos qué es la orientación de una variedad diferenciable con borde, un concepto necesario para la integración. Acabaremos la presente memoria con un teorema muy conocido en la teoría de integración, el teorema de Stokes. Veremos también algunas de sus aplicaciones para entender la importancia que tiene.

In the subject Differential Geometry II of the mathematics degree, differentiable varieties are studied together with the tangent space and later the tangent fibration. The theory of integration over differentiable varieties is not introduced. In this report we will do so by studying the differentiable varieties with edge, which have been seen in the aforementioned subject, but not with the necessary depth for the development of our report. We will introduce the notion of 'differentiable variety with edge', which generalises the notion of differentiable variety studied in the degree. We will then develop for these varieties the results known from the regular case: tangent spaces, vector fields, tensor fields, subvarieties, ... . We will then see what the orientation of a differentiable variety with edge is, a necessary concept for integration. We will end this report with a very well-known theorem in the theory of integration, Stokes' theorem. We will also see some of its applications to understand its importance.