Piecewise non-autonomous equations

Abstract

Estudiamos las distribuciones de soluciones periódicas de ecuaciones escalares a trozos definidas por x′ = f(t, x) si x ≥ 0, y x′ = g(t, x) si x < 0, donde f, g son tiempo periódicas C1 tales que f(t, 0) = g(t, 0).

Encontramos que, si f y g son funciones analíticas simples y los ceros en la línea ecuatorial son finitos y simples, entonces el conjunto de soluciones periódicas consiste en soluciones periódicas aisladas y un número finito (determinado por el número de ceros) de «bandas» cerradas de soluciones periódicas.

Además, para una familia x′ = (a0+a1 cos(t)+a2 sin(t))|x|+b0+b1 cos(t)+b2 sin(t), resolvemos tres problemas básicos relacionados con su dinámica: caracterizamos cuándo tiene un centro (problema del centro de Poincaré); en segundo lugar, demostramos que cada ecuación tiene un número finito de ciclos límite (problema de los ciclos finitos); y, por último, damos una para el número de ciclos límite (problema decimosexto de Hilbert).

We study the distributions of periodic solutions of scalar piecewise equations defined by x′ = f(t, x) if x ≥ 0, and x′ = g(t, x) if x < 0, where f, g are time periodic C1-functions such that f(t, 0) = g(t, 0).

We find that, if f and g are simple analytic functions and the zeroes on the equatorial line are finite and simple, then the set of periodic solutions consists of isolated periodic solutions and a finite number (determined by the number of zeroes) of closed “bands” of periodic solutions.

In addition, for a family x′ = (a0+a1 cos(t)+a2 sin(t))|x|+b0+b1 cos(t)+b2 sin(t), we solve three basic problems related with its dynamics: we characterize when it has a centre (Poincaré centre focus problem); second, we show that each equation has a finite number of limit cycles (finiteness problem); and finally we give a uniform upper bound for the number of limit cycles (Hilbert sixteenth problem).