D'atri spaces of type k and related classes of geometries concerning jacobi operators

Abstract

En este artículo continuamos con el estudio de la geometría de los spacios k-D'Atri, ≤n-1 (n denota la dimensión de la variedad), comenzamos por el segundo autor. Se sabe que los espacios k-D'Atri, k≥1, están relacionados con las propiedades de los operadores de Jacobi Rv junto geodésicas, ya que se ha demostrado que trRv, trR2v son invariantes bajo el flujo geodésico para cualquier unidad vector tangente v. Aquí, en el supuesto que la variedad de Riemann es un espacio D'Atri, demostramos en nuestro principal resultado que trR3v también es invariante bajo el flujo geodésico si k≥3. Además, se obtienen otras propiedades de los operadores de Jacobi relacionados con las condiciones de Ledger y que se utilizan para dar aplicación a espacios tipo Iwasawa. En la clase de espacios D'Atri de tipo Iwasawa, mostramos dos caracterizaciones diferentes de los espacios simétricos de tipo no compacto: son exactamente los C-espacios y, por otro lado, son espacios k -D'Atri para algunos k≥3 . En el último caso, son k-D'Atri para todo k = 1, ..., n-1 también. En particular, los espacios, Damek-Ricci que son k-D'Atri para algunos k≥3 son simétricos. Por último, caracterizamos espacios k-D'Atri para todo k = 1, ..., n-1 como el SC-espacios (simetrías geodésicas preservar las curvaturas principales de pequeñas esferas geodésicas). Por otra parte, la aplicación de este resultado en el caso de 4% espacios homogéneos -dimensionales probamos que las propiedades de ser un D'Atri (1-D'Atri) el espacio, o un espacio de 3 D'Atri, son equivalentes a la propiedad de ser un espacio k-D'Atri para todo k = 1,2,3.

In this article we continue the study of the geometry of k-D'Atri spaces, ≤n−1 (n denotes the dimension of the manifold), began by the second author. It is known that k-D'Atri spaces, k≥1, are related to properties of Jacobi operators Rv along geodesics, since she has shown that trRv, trR2v are invariant under the geodesic flow for any unit tangent vector v. Here, assuming that the Riemannian manifold is a D'Atri space, we prove in our main result that trR3v is also invariant under the geodesic flow if k≥3. In addition, other properties of Jacobi operators related to the Ledger conditions are obtained and they are used to give applications to Iwasawa type spaces. In the class of D'Atri spaces of Iwasawa type, we show two different characterizations of the symmetric spaces of noncompact type: they are exactly the C-spaces and on the other hand they are k -D'Atri spaces for some k≥3. In the last case, they are k-D'Atri for all k=1,...,n−1 as well. In particular, Damek-Ricci spaces that are k-D'Atri for some k≥3 are symmetric. Finally, we characterize k-D'Atri spaces for all k=1,...,n−1 as the SC-spaces (geodesic symmetries preserve the principal curvatures of small geodesic spheres). Moreover, applying this result in the case of 4% -dimensional homogeneous spaces we prove that the properties of being a D'Atri (1-D'Atri) space, or a 3-D'Atri space, are equivalent to the property of being a k-D'Atri space for all k=1,2,3.