Poiseuille flow in a heated granular gas

Abstract

El flujo planar de Poiseuille, inducido por un campo externo constante (por ejemplo, la gravedad) ha sido objeto de interés reciente en el caso de gases moleculares. Una de las predicciones de la teoría cinética (confirmado por simulaciones por ordenador) ha sido que el perfil de temperatura presenta una forma bimodal con un mínimo local en el medio de la tabla rodeada por dos máximas simétricas, en contraste con la forma unimodal esperada de las ecuaciones de Navier Stokes (NS). Sin embargo, desde un punto de vista práctico, el interés de este comportamiento no newtoniano en los gases moleculares es más bien académico, ya que requiere valores de gravedad muy superiores al terrestre. Por otro lado, la gravedad juega un papel relevante en el caso de gases granulares debido a la naturaleza mesoscópica de los granos. En este trabajo consideramos un gas diluido de esferas duras inelásticas encerradas en una losa bajo la acción de la gravedad a lo largo de una dirección longitudinal. Además, el gas está sujeto a una fuerza estocástica de ruido blanco que imita el efecto de las vibraciones externas utilizadas habitualmente en experimentos para compensar el enfriamiento colisional. El sistema se describe por medio del modelo cinético de la ecuación inelástica de Boltzmann y su solución de estado estacionario se deriva a través del segundo orden en la gravedad. Esta solución difiere de la descripción NS en que la presión hidrostática no es uniforme, las diferencias normales de estrés están presentes, existe un componente del flujo de calor normal al gradiente térmico, y el perfil de temperatura incluye un término cuadrático positivo. Como en el caso elástico, este nuevo término es responsable de la forma bimodal del perfil de temperatura. Los resultados muestran que, excepto para altas inelasticidades, el efecto de la falta de elasticidad en los perfiles es disminuir ligeramente las desviaciones cuantitativas de los resultados NS.

The planar Poiseuille flow induced by a constant external field (e.g., gravity) has been the subject of recent interest in the case of molecular gases. One of the predictions from kinetic theory (confirmed by computer simulations) has been that the temperature profile exhibits a bimodal shape with a local minimum in the middle of the slab surrounded by two symmetric maxima, in contrast to the unimodal shape expected from the Navier–Stokes (NS) equations. However, from a practical point of view, the interest of this non-Newtonian behavior in molecular gases is rather academic since it requires values of gravity extremely higher than the terrestrial one. On the other hand, gravity plays a relevant role in the case of granular gases due to the mesoscopic nature of the grains. In this paper we consider a dilute gas of inelastic hard spheres enclosed in a slab under the action of gravity along the longitudinal direction. In addition, the gas is subject to a white-noise stochastic force that mimics the effect of external vibrations customarily used in experiments to compensate for the collisional cooling. The system is described by means of a kinetic model of the inelastic Boltzmann equation and its steady-state solution is derived through second order in gravity. This solution differs from the NS description in that the hydrostatic pressure is not uniform, normal stress differences are present, a component of the heat flux normal to the thermal gradient exists, and the temperature profile includes a positive quadratic term. As in the elastic case, this new term is responsible for the bimodal shape of the temperature profile. The results show that, except for high inelasticities, the effect of inelasticity on the profiles is to slightly decrease the quantitative deviations from the NS results.