The influence of two-point statistics on the Hashin-Shtrikman bounds for three phase composites

Abstract

En este trabajo analizamos la influencia de la función de distribución espacial, introducida por Ponte Castañeda y Willis (1995), en los límites de Hashin-Shtrikman sobre las propiedades de transporte efectivo de un compuesto de partículas trifásicas transversalmente isotrópicas (TI), es decir, cuando dos Los distintos materiales están incrustados en un medio de matriz. Proporcionamos un mecanismo directo para construir límites asociados, independientemente de la forma, tamaño y distribución espacial de las fases respectivas, y asumiendo la simetría elipsoidal.

La principal novedad en el presente esquema reside en la consideración de más de un solo tipo de fase de inclusión. De hecho, a diferencia del caso de dos fases, una función de correlación de dos puntos es necesaria para caracterizar la distribución espacial de las fases de inclusión para evitar la superposición entre los diferentes tipos de fase. Además, una vez que se describe la interacción entre dos fases diferentes, el esquema desarrollado se puede extender directamente a los compuestos de múltiples fases.

La expresión uniforme de los tensores de Hill asociados y el uso de un conjunto de base de tensor adecuado, conduce a un conjunto explícito de ecuaciones para los límites. Esto permite su aplicación a una amplia variedad de fenómenos gobernados por el operador de Laplace. Se proporcionan algunas implementaciones numéricas para validar la efectividad del esquema al comparar las predicciones con los datos experimentales disponibles y otros resultados teóricos.

In this work we analyse the influence of the spatial distribution function, introduced by Ponte Castañeda and Willis (1995), on the Hashin–Shtrikman bounds on the effective transport properties of a transversely isotropic (TI) three-phase particulate composite, i.e. when two distinct materials are embedded in a matrix medium. We provide a straightforward mechanism to construct associated bounds, independently accounting for the shape, size and spatial distribution of the respective phases, and assuming ellipsoidal symmetry.

The main novelty in the present scheme resides in the consideration of more than a single inclusion phase type. Indeed, unlike the two-phase case, a two-point correlation function is necessary to characterize the spatial distribution of the inclusion phases in order to avoid overlap between different phase types. Moreover, once the interaction between two different phases is described, the scheme developed can straightforwardly be extended to multiphase composites.

The uniform expression for the associated Hill tensors and the use of a proper tensor basis set, leads to an explicit set of equations for the bounds. This permits its application to a wide variety of phenomena governed by Laplace’s operator. Some numerical implementations are provided to validate the effectiveness of the scheme by comparing the predictions with available experimental data and other theoretical results.