Procesos difusivos y de reacción-difusión en medios expansivos

Abstract

El transporte difusivo es un mecanismo fundamental en importantes procesos biológicos que incluyen reacciones químicas. Sin embargo, las aproximaciones físico-estadísticas más habituales son incapaces de explicar satisfactoriamente la cinética de aquellos procesos reactivos que se ven fuertemente afectados por el crecimiento del medio en cuestión. Para aplicaciones en Biología y en otros ámbitos, resulta imprescindible elaborar modelos físico-estadísticos que describan apropiadamente el movimiento difusivo en medios expansivos. En muchas ocasiones, el movimiento de las partículas en los sistemas a estudiar satisface con bastante exactitud las leyes de la difusión browniana (también denominada difusión normal). Pero en otras, factores como el desorden del medio o la presencia de obstáculos que limitan el esparcimiento de las partículas introducen una mayor complejidad estadística en el transporte difusivo. Ello conduce a la llamada difusión anómala, frecuentemente modelada mediante la denominada Caminata Aleatoria en Tiempo Continuo. En esta tesis, desarrollamos dicho modelo para el caso de un medio expansivo, deducimos la correspondiente ecuación de Fokker-Planck, y calculamos los momentos estadísticos, tanto en ausencia como en presencia de fuerzas externas. Nuestros resultados revelan que los efectos de la expansión del medio en el transporte de partículas no brownianas pueden ser muy diferentes de los observados para partículas brownianas. Finalmente, estudiamos ciertos procesos de reacción-difusión en medios expansivos uniformes, y mostramos que la cinética puede describirse mediante las mismas ecuaciones que para un medio estático si se lleva a cabo una transformación espaciotemporal adecuada. Verificamos nuestros principales resultados analíticos mediante simulaciones numéricas.

Diffusive transport is a fundamental mechanism in key biological processes involving chemical reactions. However, the most common statistical physics approaches fail to provide a satisfactory explanation for the kinetics of those reactive processes strongly affected by the growth of the embedding medium. For applications in biology and other fields, it is essential to develop statistical models which appropriately describe diffusion in expanding media. On many occasions, the motion of the particles in the systems under study follows rather accurately the laws of Brownian motion (also called normal diffusion). In other cases, though, features such as the medium disorder or the presence of obstacles hindering the dissemination of the particles introduce a higher complexity in the statistics of diffusive transport. This results in what is known as anomalous diffusion, which is frequently modeled via the so-called Continuous-Time Random Walk. In this thesis, we develop this model for the case of an expanding medium, we derive the corresponding Fokker-Planck equation, and we compute the statistical moments, both in the absence and in the presence of external forces. Our results show that the effects of the medium expansion on non-Brownian particles may be very different from those observed for Brownian particles. Finally, we study certain reaction-diffusion processes in uniformly expanding media, and we show that the kinetics can be described by the same equations as in static media if a suitable spatiotemporal transformation is carried out. We validate our main analytic results by means of numerical simulations.