Inversas generalizadas

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado trata de conocer la inversa de Moore-Penrose de una matriz con coeficientes reales. En el primer capítulo, se introducen una serie de resultados relacionados con la ortogonalidad y las matrices simétricas, estos resultados serán necesarios para poder continuar con los demás capítulos del presente TFG. En el siguiente capítulo se mostrarán algunas propiedades que cumplen las matrices AAt y AtA donde A es una matriz real de orden m × n. Además, se realizará una descomposición de la matriz A en función de los autovalores no nulos de las matrices anteriormente mencionadas. En el último capítulo se tratan varios aspectos, entre ellos, se expone la definición de inversas generalizadas, aunque me centraré en una en concreto, en la inversa de Moore-Penrose. También hablaremos de la resolución exacta y aproximada de sistemas de ecuaciones lineales compatibles e incompatibles. Y, por último, se presenta una aplicación de las inversas generalizadas en Estadística.

This Bachelor’s Thesis aims to explore the Moore-Penrose inverse of a matrix with real coefficients. In the first chapter, a series of results related to orthogonality and symmetric matrices are introduced. These results will be necessary to proceed with the rest if the chapters in this thesis. The following will present some properties satisfaced by the matrices AAt and AtA, where A is a real matrix od size m × n. Additionally, a decomposition of matrix A will be performed based on the non-zero eigenvalues of the aforementioned matrices. The last chapter adrdresses several aspects. Among them, the definition of generalized inverses is presented, although I will focus on one in particular: the Moore-Penrose inverse. We will also dicuss the exact and approximate resolution of compatible and incompatible systems of linear equations. Finally, an application of general inverses in Statistics is presented.