Darbouxian integrability for polynomial vector fields on the 2-dimensional sphere

Abstract

The paper is organized as follows: in section 2 we present a summary of the main results of the Darbouxian theory of integrability for the planar polynomial vector ¯elds that we will extend to polynomial vector fields on the 2{dimensional sphere. In Section 3 we give the definitions of polynomial vector field on the 2-dimensional sphere and of a first integral for such vector fields. In Sections 4 and 5 we introduce the notion of invariant algebraic curve and of exponential factor for a polynomial vector field on the 2-dimensional sphere, respectively. In Section 6 we describe the expressions of the differential equations associated to a polynomial vector field on the 2-dimensional sphere through the stereographic projection. Finally, in Section 7 we present the Darbouxian theory of integration for polynomial vector fields on the 2-dimensional sphere.

El artículo está organizado de la siguiente manera: en la sección 2 presentamos un resumen de los principales resultados de la teoría de integrabilidad de Darboux para los campos vectoriales polinomiales planos que extenderemos a campos vectoriales polinomiales en la esfera bidimensional. En la Sección 3 damos las definiciones de campo vectorial polinómico en la esfera bidimensional y de una primera integral para tales campos vectoriales. En las Secciones 4 y 5 introducimos la noción de curva algebraica invariante y de factor exponencial para un campo vectorial polinomial en la esfera bidimensional, respectivamente. En la Sección 6 describimos las expresiones del diferencial ecuaciones asociadas a un campo vectorial polinómico en la esfera bidimensional a través de la proyección estereográfica. Finalmente, en la Sección 7 presentamos la teoría darbouxiana de integración para campos vectoriales polinomiales en la esfera bidimensional.