Reaction-diffusion and reaction-subdiffusion equations on arbitrarily evolving domains

Abstract

Las ecuaciones de reacción-difusión son ampliamente utilizadas como la ecuaciones que gobiernan la evolución temporal en el marco de la modelización de muchos procesos físicos, químicos, y biológicos. Aquí deducimos ecuaciones de reacción-difusión para modelizar transporte con reacciones en un dominio espacial unidimensional que evoluciona. Las ecuaciones del modelo, que han sido deducidas de caminatas aleatorias en tiempo continuo, pueden incorporar complicaciones tales como transporte subdifusivo y expansiones/contracciones inhomogéneas del dominio. En fenómenos biológicos que involucran transporte estocástico, tales como el crecimiento de tumores y la formación de gradientes de morfógenos, se encuentran frecuentemente dominios que crecen de manera no homogénea. Desarrollamos un método para construir expresiones analíticas de los momentos de la posición de las partículas a tiempos cortos, y mostramos que los momentos calculados mediante dicho método están en buen acuerdo con resultados de simulaciones de las caminatas aleatorias y con la integración numérica de la ecuación de reacción-transporte. Los resultados muestran el importante papel de la condición inicial. En particular, ésta afecta fuertemente a la dependencia temporal de los momentos en el régimen de tiempos cortos introduciendo términos de difusión y deriva adicionales. Discutimos también como nuestra ecuación de reacción-transporte podría aplicarse al estudio de la diseminación de una población que se dispersa en una interfase dinámica. Desde una perspectiva más general, nuestros hallazgos ayudan a mitigar la escasez de resultados analíticos para problemas de reacción-difusión en geometrías que crecen de manera no uniforme. Esperamos también que allanen el camino para más resultados, incluyendo el tratamiento de problemas de primer paso asociados con reacciones controladas por encuentro en tales dominios.

Reaction-diffusion equations are widely used as the governing evolution equations for modeling many physical, chemical, and biological processes. Here we derive reaction-diffusion equations to model transport with reactions on a one-dimensional domain that is evolving. The model equations, which have been derived from generalized continuous time random walks, can incorporate complexities such as subdiffusive transport and inhomogeneous domain stretching and shrinking. Inhomogeneously growing domains are frequently encountered in biological phenomena involving stochastic transport, such as tumor growth and morphogen gradient formation. A method for constructing analytic expressions for short-time moments of the position of the particles is developed and moments calculated from this approach are shown to compare favorably with results from random walk simulations and numerical integration of the reaction transport equation. The results show the important role played by the initial condition. In particular, it strongly affects the time dependence of the moments in the short-time regime by introducing additional drift and diffusion terms. We also discuss how our reaction transport equation could be applied to study the spreading of a population on an evolving interface. From a more general perspective, our findings help to mitigate the scarcity of analytic results for reaction-diffusion problems in geometries displaying nonuniform growth. They are also expected to pave the way for further results, including the treatment of first-passage problems associated with encounter-controlled reactions in such domains.