Standard and fractional Ornstein-Uhlenbeck process on a growing domain

Abstract

Estudiamos procesos de difusión normal y subdifusión bajo la acción de un potencial armónico (proceso de Ornstein-Uhlenbeck) en un dominio que crece o se contrae uniformemente. Nuestro punto de partida es una ecuación fraccionaria de Fokker-Planck deducida recientemente, que cubre tanto el caso de la difusión browniana como el caso de una marcha aleatoria subdifusiva en tiempo continuo (CTRW). Encontramos una alta sensibilidad de las propiedades de la marcha aleatoria a los detalles de la tasa de crecimiento del dominio, lo que da lugar a una variedad de regímenes con comportamientos extremadamente diferentes. En el origen de esta rica fenomenología está el hecho de que los caminantes todavía se mueven mientras esperan para saltar, ya que son arrastrados por la deriva determinista que surge del crecimiento del dominio. Por lo tanto, los tiempos de espera cada vez más largos asociados con el envejecimiento del CTRW subdifusivo implican que, en el intervalo de tiempo entre dos saltos consecutivos, los caminantes podrían viajar distancias mucho más largas que en el caso difusivo normal. Esto da lugar a efectos aparentemente contrarios a la intuición. Por ejemplo, en un dominio estático, tanto la difusión browniana como los CTRW subdifusivos producen una distribución de partículas estacionarias con ancho finito cuando actúa un potencial armónico, lo que indica un confinamiento de la partícula difusiva. Sin embargo, para un dominio de crecimiento o contracción suficientemente rápida, este comportamiento cualitativo deja de cumplirse, y se encuentran diferencias entre el caso browniano y el caso subdifusivo. En el caso de las partículas brownianas, se necesita un crecimiento exponencial del dominio suficientemente rápido para romper el confinamiento inducido por la fuerza armónica; por el contrario, para las partículas subdifusivas tal ruptura puede tener lugar ya para un crecimiento del dominio con la forma de una ley de potencia, siempre y cuando el exponente de dicha ley sea suficientemente grande. Nuestros resultados analíticos y numéricos para ambos tipos de difusión se confirman plenamente por las simulaciones de la marcha aleatoria.

We study normal diffusive and subdiffusive processes in a harmonic potential (Ornstein-Uhlenbeck process) on a uniformly growing or contracting domain. Our starting point is a recently derived fractional Fokker-Planck equation, which covers both the case of Brownian diffusion and the case of a subdiffusive continuous-time random walk (CTRW). We find a high sensitivity of the random walk properties to the details of the domain growth rate, which gives rise to a variety of regimes with extremely different behaviors. At the origin of this rich phenomenology is the fact that the walkers still move while they wait to jump, since they are dragged by the deterministic drift arising from the domain growth. Thus, the increasingly long waiting times associated with the aging of the subdiffusive CTRW imply that, in the time interval between two consecutive jumps, the walkers might travel over much longer distances than in the normal diffusive case. This gives rise to seemingly counterintuitive effects. For example, on a static domain, both Brownian diffusion and subdiffusive CTRWs yield a stationary particle distribution with finite width when a harmonic potential is at play, thus indicating a confinement of the diffusing particle. However, for a sufficiently fast growing or contracting domain, this qualitative behavior breaks down, and differences between the Brownian case and the subdiffusive case are found. In the case of Brownian particles, a sufficiently fast exponential domain growth is needed to break the confinement induced by the harmonic force; in contrast, for subdiffusive particles such a breakdown may already take place for a sufficiently fast power-law domain growth. Our analytic and numerical results for both types of diffusion are fully confirmed by random walk simulations.