Baseline methods for the parameter estimation of the Generalized Pareto Distribution

Abstract

En la estimación de los parámetros de las distribuciones de valor extremo límite, la mayoría de los métodos empleados sólo utilizan algunos de los datos disponibles. Utilizando el método de picos sobre umbral para la Distribución de Pareto Generalizada (GPD), sólo se consideran las observaciones por encima de un determinado umbral; por lo tanto, se desperdicia una gran cantidad de información. El objetivo de este trabajo es aprovechar al máximo la información proporcionada por las observaciones para mejorar la precisión de la estimación bayesiana de parámetros. Presentamos dos nuevos métodos bayesianos para estimar los parámetros de la GPD, teniendo en cuenta todo el conjunto de datos de la distribución de referencia y las relaciones existentes entre los parámetros de referencia y los parámetros límite de la GPD con el fin de definir priors altamente informativos. Realizamos una comparación entre el algoritmo bayesiano Metropolis-Hastings con datos por encima del umbral y los nuevos métodos cuando la distribución de partida es una distribución estable, cuyas propiedades nos aseguran poder reducir el problema al estudio de distribuciones estándar y además nos permiten proponer nuevos estimadores para los parámetros de la distribución de cola. En concreto, se han considerado tres casos de distribuciones estables: Distribuciones Normal, Lévy y Cauchy, como principales ejemplos de los diferentes comportamientos de las colas de una distribución. No obstante, los métodos serían aplicables a muchas otras distribuciones de cola mediante la búsqueda de relaciones entre los parámetros de cola y GPD a través de estudios de simulaciones. Para ilustrar esta situación, estudiamos la aplicación de los métodos con datos reales de contaminación atmosférica en Badajoz (España), cuya distribución de referencia se ajusta a una Gamma, y mostramos que los métodos de referencia mejoran las estimaciones en comparación con el algoritmo bayesiano Metropolis-Hastings.

In the parameter estimation of limit extreme value distributions, most employed methods only use some of the available data. Using the peaks-over-threshold method for Generalized Pareto Distribution (GPD), only the observations above a certain threshold are considered; therefore, a big amount of information is wasted. The aim of this work is to make the most of the information provided by the observations in order to improve the accuracy of Bayesian parameter estimation. We present two new Bayesian methods to estimate the parameters of the GPD, taking into account the whole data set from the baseline distribution and the existing relations between the baseline and the limit GPD parameters in order to define highly informative priors. We make a comparison between the Bayesian Metropolis–Hastings algorithm with data over the threshold and the new methods when the baseline distribution is a stable distribution, whose properties assure we can reduce the problem to study standard distributions and also allow us to propose new estimators for the parameters of the tail distribution. Specifically, three cases of stable distributions were considered: Normal, Lévy and Cauchy distributions, as main examples of the different behaviors of the tails of a distribution. Nevertheless, the methods would be applicable to many other baseline distributions through finding relations between baseline and GPD parameters via studies of simulations. To illustrate this situation, we study the application of the methods with real data of air pollution in Badajoz (Spain), whose baseline distribution fits a Gamma, and show that the baseline methods improve estimates compared to the Bayesian Metropolis–Hastings algorithm.