Random walks on lattices. Influence of competing reaction centers on diffusion-controlled processes

Abstract

Estudiamos procesos de difusión-reacción en redes cúbicas simples periódicas y redes cuadradas planares. Consideramos un único reactivo que se mueve difusivamente y que sufre una reacción irreversible tras el primer encuentro con un correactivo estático ubicado en un nodo determinado (“problema de único caminante”). También admitimos que haya una reacción competitiva, es decir, la captura instantánea del reactivo en cualquier otro nodo (con probabilidad s) antes de interactuar con el correactivo estático. Utilizamos un enfoque basado en funciones generatrices y en la teoría de Markov, así como simulaciones MC, para determinar la longitud media ⟨n⟩ de la caminata difusiva antes de que se produzca cualquier de las dos procesos de captura que compiten entre sí . Para investigar la dependencia de ⟨n⟩ del tamaño de la red, calculamos las primeras correcciones de tamaño finito a la función de Green de la red cúbica, corrigiendo resultados documentados en la bibliografía. Utilizando estos resultados, las propiedades de exploración espacial y las primeras propiedades de paso (por ejemplo, estadísticas de longitud de caminata, número medio de nodos distintos visitados, estadísticas de retorno al origen, etc.) tanto de las caminatas convencionales (inmortales) como de las mortales puede ser determinado. En este contexto, desarrollamos un enfoque novedoso basado en un Padé de dos puntos aproximado para la función de Green. Finalmente, estudiamos mediante simulaciones de Monte Carlo el caso más complejo en el que tanto el reactivo como el correactivo se desplazan simultáneamente entre nodos vecinos (“problema de los dos caminantes”). Aquí, suponemos que tanto el reactivo como el correactivo pueden quedar atrapados individualmente con probabilidad s en cualquier nodo de la red, o sufrir una reacción en cuanto ambos se encuentran en cualquier nodo de la red. Cuando s = 0 encontramos que, tanto para el caminante único como para el problema de los dos caminantes, para redes con (aproximadamente) el mismo número de nodos, la longitud de caminata media es menor (y por lo tanto la eficiencia de la reacción mayor) en d = 3 que en d = 2. El aumento de s tiende a reducir las diferencias en la dimensionalidad del sistema y las distinciones entre el problema de un caminante y el problema de dos caminantes. Nuestro modelo proporciona un buen punto de partida para desarrollar estudios sobre la eficiencia de procesos de reacción-difusión aparentemente diversos, como la difusión sobre un sustrato catalítico parcialmente envenenado o la captura fotosintética de excitaciones.

We study diffusion–reaction processes on periodic simple cubic (sc) lattices and square planar lattices. We consider a single diffusing reactant undergoing an irreversible reaction upon first encounter with a static co-reactant placed at a given site (‘‘one-walker problem’’). We also allow for a competing reaction, namely, instantaneous trapping of the diffusing reactant at any other site (with probability s) before interacting with the static co-reactant. We use a generating function approach and Markov theory, as well as MC simulations, to determine the mean walklength ⟨n⟩ of the diffusing reactant before either of the two competing reactions takes place. To investigate the dependence of ⟨n⟩ on lattice size we compute the first, finite size corrections to the Green function of the sc lattice, correcting results reported in the literature. Using these results, space exploration properties and first- passage properties (e.g. walklength statistics, mean number of distinct sites visited, statis- tics of return to the origin, etc.) of both conventional (immortal) walks and mortal walks can be determined. In this context, we develop a novel approach based on a two-point Padé approximant for the Green function. Finally, we study by means of MC simulations the more complex case where both reactant and co-reactant undergo synchronous nearest-neighbor displacements (‘‘two-walker problem’’). Here, we assume that reactant and co-reactant can individually be trapped with probability s at any lattice site, or can undergo an irreversible reaction on first encounter at any site. When s = 0 we find that, both for the one-walker and the two-walker problem, for lattices with (approximately) the same number of sites, the mean walklength is smaller (and hence the reaction efficiency greater) in d = 3 than in d = 2. Increasing s tends to reduce differences in system dimensionality, and distinctions between the one-walker problem and the two-walker problem. Our model provides a good starting point to develop studies on the efficiency of apparently diverse diffusion–reaction processes, such as diffusion on a partially poisoned catalytic substrate or photosynthetic trapping of excitations.