On second-order, divergence-free tensors

Abstract

Este trabajo aborda el problema de la descripción de la divergencia de espacios vectoriales libres de tensores, natural de un pseudo-Riemanniana colector que son de segundo orden, es decir, que se definen mediante sólo segundas derivadas de la métrica.

El principal resultado es establecer isomorfismos entre estos espacios y ciertos espacios tensores (en un punto) que son invariantes bajo la acción de un grupo ortogonal.

Este resultado es válido para tensores con un número arbitrario de índices y simetrías entre ellos y, en algunos casos, permite calcular de forma explícita, utilizando la teoría de invariantes del grupo ortogonal.

En el caso particular de tensores con dos índices, se demuestra que el tensores Lovelock son una base para el espacio vectorial de tensores de segundo orden que son libres de divergencia, contribuyendo así a mejorar la original declaración de Lovelock.

This paper deals with the problem of describing the vector spaces of divergence-free, natural tensors on a pseudo-Riemannian manifold that are second-order; i.e., that are defined using only second derivatives of the metric.

The main result establish isomorphisms between these spaces and certain spaces of tensors (at a point) that are invariant under the action of an orthogonal group.

This result is valid for tensors with an arbitrary number of indices and symmetries among them and, in certain cases, it allows to explicitly compute basis, using the theory of invariants of the orthogonal group.

In the particular case of tensors with two indices, we prove the Lovelock tensors are a basis for the vector space of second-order tensors that are divergence-free, thus refining the original Lovelock's statement.