Non-Newtonian Poiseuille flow of a gas in a pipe

Abstract

El modelo cinético Bhatnagar-Gross-Krook de la ecuación de Boltzmann se resuelve para el flujo constante cilíndrico de Poiseuille alimetado por un campo gravitatorio constante. La solución se obtiene como una expansión de perturbación en potencias de campo (a través de cuarto orden) y para una clase general de los potenciales repulsivos. Los resultados, que son poco sensibles a la interacción potencial, sugieren que la expansión sólo es asintótica. Una comparación crítica con los perfiles predichos por las ecuaciones de Navier-Stokes muestra que este último no logra distancias comparables a la trayectoria libre media. En particular, aunque la descripción de Navier-Stokes predice una temperatura monótonamente decreciente a medida que uno se mueve aparte del eje del cilindro, la descripción de la teoría cinética muestra que la temperatura tiene un mínimo local en el eje y alcanza un valor máximo a una distancia de orden en el recorrido libre medio. Dentro de esa distancia, los flujos de calor radial desde el más frío de los puntos al más calientes, en contraste con lo que se espera a partir de la ley de Fourier. Además, existe un componente longitudinal del flujo de calor en ausencia de gradientes a lo largo de la dirección longitudinal. También están presentes efectos no newtonianos, tales como una presión hidrostática no uniforme y diferencias normales de estrés.

The Bhatnagar–Gross–Krook kinetic model of the Boltzmann equation is solved for the steady cylindrical Poiseuille flow fed by a constant gravity field. The solution is obtained as a perturbation expansion in powers of the field (through fourth order) and for a general class of repulsive potentials. The results, which are hardly sensitive to the interaction potential, suggest that the expansion is only asymptotic. A critical comparison with the profiles predicted by the Navier–Stokes equations shows that the latter fail over distances comparable to the mean free path. In particular, while the Navier–Stokes description predicts a monotonically decreasing temperature as one moves apart from the cylinder axis, the kinetic theory description shows that the temperature has a local minimum at the axis and reaches a maximum value at a distance of the order of the mean free path. Within that distance, the radial heat flows from the colder to the hotter points, in contrast to what is expected from the Fourier law. Furthermore, a longitudinal component of the heat flux exists in the absence of gradients along the longitudinal direction. Non-Newtonian effects, such as a non-uniform hydrostatic pressure and normal stress differences, are also present.