König-Witstock quasi-norms on quasi-Banach spaces

Abstract

König and Wittstock considered non-equivalent norms on Banach spaces making continuous some prescribed linear functional. Our purpose is to relate their results with the theory of extensions of Banach spaces, and then to extend the constructions to quasi-Banach spaces. To this end, we define the general form of what we shall call a König-Wittstock quasi-norm and to obtain a characterization of when such quasi-norms are equivalent, isomorphic or isometric. We then consider what occurs when one wants to make continuous a prescribed functional but keeping continuous all the already continuous functionals. We show that the completion of these norms are all isometric to a minimal extension of X, although most of these norms are not even isomorphic.

König y Wittstock consideraron normas no equivalentes en los espacios de Banach que hacían continuos algunos funcionales lineales prescritos. Nuestro propósito es relacionar sus resultados con la teoría de extensiones de espacios de Banach, para luego extender las construcciones a espacios cuasi-Banach. Para ello, definimos la forma general de lo que llamaremos una cuasi-norma de König-Wittstock y obtenemos una caracterización de cuándo dichas cuasi-normas son equivalentes, isomorfas o isométricas. Luego consideramos lo que ocurre cuando uno quiere hacer continuo un funcional prescrito pero manteniendo continuos todos los funcionales ya continuos. Mostramos que la compleción de estas normas son todas isométricas hasta una extensión mínima de X, aunque la mayoría de estas normas ni siquiera son isomórficas.