An inhomogeneous controlled branching process

Abstract

A discrete time branching process is considered in which the offspring distribution is generation-dependent, and the number of reproductive individuals is controlled by a random mechanism. This model is a Markov chain, but in general the transition probabilities are non-stationary. Under not too restrictive hypotheses, this model presents the classical duality of branching processes: it either becomes extinct or grows to infinity. Sufficient conditions for the almost sure extinction and for a positive probability of indefinite growth are given. Finally, the rates of growth of the process are studied provided there is non-extinction.

Se considera un proceso de ramificación en tiempo discreto en el que la distribución de la descendencia depende de la generación y el número de individuos reproductores está controlado por un mecanismo aleatorio. Este modelo es una cadena de Markov, pero en general las probabilidades de transición no son estacionarias. Bajo hipótesis no demasiado restrictivas, este modelo presenta la dualidad clásica de los procesos de ramificación: o se extingue o crece hasta el infinito. Se dan condiciones suficientes para la extinción casi segura y para una probabilidad positiva de crecimiento indefinido. Por último, se estudian las tasas de crecimiento del proceso siempre que no haya extinción.