Espacios twisted Hilbert y transformaciones de espacios quasinormados

Abstract

Esta tesis trata de cómo transformar con continuidad la bola unidad de una quasinorma en otra. El Capítulo 1 trata sobre el espacio Q de las quasinormas en espacios de dimensión finita, que es un espacio de Banach. El Capítulo 2 desarrolla la idea de transformación continua entre la quasinorma q1 y la quasinorma q2 disponiendo de una curva continua en Q entre q1 y q2. Estas ideas deben bastante a la teoría de interpolación: una escala de interpolación de extremos X e Y es una transformación continua entre de X e Y en la que “los estados intermedios” son los espacios de la escala. Cada vez que un espacio X se obtiene por interpolación compleja de una familia de espacios de Banach, se genera un centralizador en X. En el Capítulo 3 se estudia la relación entre diferentes configuraciones de espacios equidistribuidos en arcos de la circunferencia unidad y los centralizadores que generan. También se estudia un proceso de fragmentación y amalgama de escalas de interpolación. Un espacio twisted Hilbert es un espacio de Banach X que tiene un subespacio de Hilbert H tal que X/H es también de Hilbert. La comprensión de los espacios twisted Hilbert pasa por construir espacios twisted Hilbert muy diferentes o muy parecidos al espacio de Hilbert. En el último capítulo podemos encontrar tres ejemplos de estos espacios: un espacio asintóticamente Hilbert no débil Hilbert, un espacio no asintóticamente Hilbert y un espacio cuyos subespacios tienen la Propiedad de Aproximación.

This thesis deals with how to continuously transform the unit ball from one quasinorm to another. Chapter 1 deals with the space Q of quasinorms in finite-dimensional spaces, which is a Banach space. Chapter 2 develops the idea of continuous transformation between the quasinorm q1 and the quasinorm q2 by setting a continuous curve in Q between q1 and q2. This idea have its origin in interpolation theory: an interpolation scale of extremes X and Y is a continuous transformation between X and Y in which the “intermediate states” are the spaces of the scale. When a space X is obtained by complex interpolation of a family of Banach spaces, a centralizer is generated in X. In Chapter 3, we study the relationship between different configurations of equidistributed spaces on arcs of the unit circle and the centralizers they generate. A process of fragmentation and amalgamation of interpolation scales is also studied. A twisted Hilbert space is a Banach space X that has a Hilbert subspace H such that X/H is also a Hilbert space. Understanding twisted Hilbert spaces involves constructing twisted Hilbert spaces that are very different or very similar to Hilbert space. In the last chapter we can find three new examples of these spaces: an asymptotically Hilbert non-weak Hilbert space, a non-asymptotically Hilbert space, and a space all whose subspaces have the Approximation Property.