Sumas torcidas de espacios C(K) y dónde encontrarlas

Abstract

La presente tesis se centra en los espacios de funciones continuas, o espacios C(K), y más concretamente, en el estudio de las sumas torcidas que producen. El análisis de dichas sumas torcidas se lleva a cabo combinando ideas de la teoría clásica de espacios de Banach con técnicas propias de la topología, la homología y la teoría de categorías. Concretamente, en el Capítulo 2 se describen sumas torcidas de espacios C(K) que surgen de construcciones topológicas y homológicas, mientras que en el Capítulo 3 se estudian propiedades de las sumas torcidas de espacios tipo c0(I) que se desprenden de un teorema de representación al más puro estilo de la teoría de categorías. En algunos casos, además, tales construcciones requieren el uso de elementos de teoría descriptiva de conjuntos y combinatoria infinita. Prueba de ello es el Capítulo 4, donde se construye un contraejemplo al clásico problema del subespacio complementado en espacios C(K). Por último, dado que los espacios C(K) están dotados de ciertas estructuras de módulo, el Capítulo 5 está dedicado a explorar la posibilidad de construir sumas torcidas de espacios C(K) que también posean dichas estructuras.

This dissertation focuses on spaces of continuous functions, or C(K)-spaces, and especially on the twisted sums they produce. The study of such spaces is mainly performed by combining the usual techniques from Banach space theory with a great deal of topology, plus some homological and categorical ideas. For instance, Chapter 2 describes a good deal of twisted sums of C(K)-spaces making use of both homological and topological tools. On the other hand, Chapter 3 studies a number of remarkable properties of twisted sums of c0(I)-spaces, all of which come as a consequence of a representation theorem for such spaces, in the spirit of category theory. In some places, the topological approach relies on descriptive set theory or infinite combinatorics. The perfect example of this phenomenon is Chapter 4, where a counterexample for the longstanding complemented subspace problem for C(K)-spaces is constructed. Finally, C(K)-spaces possess module structures which should not be ignored, and so Chapter 5 explores the possibility of obtaining twisted sums with C(K)-spaces that are also endowed with such structures.