On the mean square displacement of intruders in freely cooling granular gases

Abstract

Calculamos el desplazamiento cuadrático medio (MSD) de intrusos inmersos en un gas granular que se enfría libremente y que está formado por esferas lisas, inelásticas y duras. inelásticas. En general, se supone que los intrusos y las partículas del gas granular tienen propiedades mecánicas diferentes, lo que implica que la energía no se reparte equitativamente. lo que implica que en el cálculo del coeficiente de difusión debe tenerse en cuenta la no repartición de la energía. D. En el régimen hidrodinámico, se sabe que el decaimiento temporal de la temperatura granular T del gas granular refrigerante está dictada por la ley de Haff; el correspondiente decaimiento de la frecuencia de colisión del intruso conlleva una disminución temporal del coeficiente de difusión D. El conocimiento explícito del decaimiento de la frecuencia de colisión del intruso conlleva una disminución temporal del coeficiente de difusión D. El conocimiento explícito de esta dependencia temporal nos permite determinar el MSD integrando la ecuación de difusión correspondiente. ecuación de difusión. Al igual que en estudios anteriores sobre la autodifusión (intrusos mecánicamente equivalentes a partículas de gas) y el límite browniano (masa del intruso mucho mayor que la masa del grano), encontramos una dependencia temporal logarítmica de la MSD como consecuencia de la ley de Haff. Esta dependencia se extiende mucho más allá de los dos casos mencionados, ya que se mantiene en todas las dimensiones espaciales dimensiones para valores arbitrarios de los parámetros mecánicos del sistema (masas y diámetros de los intrusos y de los granos así como sus coeficientes de restitución normal). Nuestro resultado para la autodifusión en un gas granular tridimensional concuerda cualitativamente, pero no cuantitativamente, con el obtenido recientemente por Blumenfeld [arXiv: 2111.06260] en el marco de un modelo de paseo aleatorio. modelo de paseo aleatorio. Más allá del crecimiento logarítmico del tiempo, encontramos que el MSD depende de los parámetros mecánicos del sistema de forma muy compleja. Llevamos a cabo un análisis exhaustivo del que emergen características interesantes, como una dependencia no monotónica de los coeficientes de restitución normal y de la relación de masas intruso-grano. Para explicar Para explicar el comportamiento observado, analizamos en detalle el paseo aleatorio del intruso, consistente en desplazamientos balísticos interrumpidos por deflexiones anisótropas causadas por las colisiones con las esferas duras. También mostramos que el MSD puede considerarse como que surge de un paseo aleatorio equivalente con pasos isótropos no correlacionados. Por último, derivamos algunos resultados para la TME de un intruso inmerso en un gas granular impulsado y los comparamos con los obtenidos para el caso de enfriamiento libre. En general encontramos diferencias cuantitativas significativas en la dependencia del coeficiente de difusión escalado con el coeficiente de restitución normal normal para las colisiones grano-grano.

We compute the mean square displacement (MSD) of intruders immersed in a freely cooling granular gas made up of smooth inelastic hard spheres. In general, intruders and particles of the granular gas are assumed to have different mechanical properties, implying that non-equipartition of energy must be accounted for in the computation of the diffusion coefficient D. In the hydrodynamic regime, the time decay of the granular temperature T of the cooling granular gas is known to be dictated by Haff’s law; the corresponding decay of the intruder’s collision frequency entails a time decrease of the diffusion coefficient D. Explicit knowledge of this time dependence allows us to determine the MSD by integrating the corresponding diffusion equation. As in previous studies of self-diffusion (intruders mechanically equivalent to gas particles) and the Brownian limit (intruder’s mass much larger than the grain’s mass), we find a logarithmic time dependence of the MSD as a consequence of Haff’s law. This dependence extends well beyond the two aforementioned cases, as it holds in all spatial dimensions for arbitrary values of the mechanical parameters of the system (masses and diameters of intruders and grains, as well as their coefficients of normal restitution). Our result for self-diffusion in a three-dimensional granular gas agrees qualitatively, but not quantitatively, with that recently obtained by Blumenfeld [arXiv: 2111.06260] in the framework of a random walk model. Beyond the logarithmic time growth, we find that the MSD depends on the mechanical system parameters in a highly complex way. We carry out a comprehensive analysis from which interesting features emerge, such a nonmonotonic dependence of the MSD on the coefficients of normal restitution and on the intruder-grain mass ratio. To explain the observed behaviour, we analyze in detail the intruder’s random walk, consisting of ballistic displacements interrupted by anisotropic deflections caused by the collisions with the hard spheres. We also show that the MSD can be thought of as arising from an equivalent random walk with isotropic, uncorrelated steps. Finally, we derive some results for the MSD of an intruder inmersed in a driven granular gas and compare them with those obtained for the freely cooling case. In general, we find significant quantitative differences in the dependence of the scaled diffusion coefficient on the coefficient of normal restitution for the grain-grain collisions.