Aportaciones teóricas y computacionales al análisis cluster, estimación de distribución y cálculo de esperanzas condicionales

Abstract

Esta tesis aborda aspectos de la metodología de suavizado tipo núcleo en el problema de estimación de funciones de distribución. Aplicar algún tipo de suavizado sobre el estimador empírico conlleva siempre una disminución, en algunos casos significativa, del error cometido por el estimador resultante.

Los métodos de suavizado resultan ser especialmente útiles para reducir la variabilidad de los estimadores, siempre que la elección del parámetro de suavizado, que es crucial en esta metodología, se realice correctamente. Se estudian las propiedades del parámetro de suavizado óptimo.

Igualmente se realiza un estudio comparativo de análisis cluster mediante el algoritmo mean shift en el que interviene el estimador núcleo de la función de densidad. Se consideran múltiples métodos para el cálculo del ancho de banda y se comparan los resultados obtenidos con dichos métodos.

Además, se describe un método Monte Carlo para aproximar esperanzas condicionales en un contexto probabilístico. El método es ilustrado por medio de varios ejemplos y puede ser útil en un contexto estadístico para aproximar esperanzas condicionales dado un estadístico suficiente o para calcular el estimador equivariante de mínimo riesgo del parámetro de posición de una distribución general half-normal. Asimismo, se aprovecha la ocasión para presentar expresiones explícitas de los estimadores equivariantes de mínimo riesgo del parámetro de escala de esa distribución y de cada uno de los parámetros de posición y escala de esa distribución cuando el otro parámetro se supone conocido.

This thesis tackles various aspects of kernel smoothing methodology to the problem of estimating distribution functions. Applying some kind of smoothing on empirical estimator always involves a decrease, in some cases significantly, of the error produced by the resulting estimator.

Smoothing methods prove to be useful to reduce the variability of the estimators, provided that the choice of the smoothing parameter, which is crucial in this methodology, is successful. Properties of the optimal smoothing parameter are studied.

Also there will be a comparative study of cluster analysis using the mean shift algorithm where the kernel estimator of the density function appears. Multiple methods are considered to calculate the bandwidth and to compare the obtained results with these methods.

Moreover, a Monte Carlo method to approximate conditional expectations on a probabilistic context is given. The method is illustrated by several examples and can be useful in a statistical context to approximate conditional expectations given a sufficient statistic or ,as we shall see, to calculate the minimum risk equivariant estimator of the location parameter of a general half-normal distribution. Also, it is showed explicit expressions of the minimum risk equivariant estimators of the location parameter of this distribution and of the location and scale parameters of the distribution when the other parameter is assumed known.