Diffusion approximation of controlled branching processes using limit theorems for random step processes

Abstract

A controlled branching process (CBP) is a modification of the standard Bienaymé-Galton-Watson process in which the number of progenitors in each generation is determined by a random mechanism. We consider a CBP starting from a random number of initial individuals. The main aim of this paper is to provide a Feller diffusion approximation for critical CBPs. A similar result by considering a fixed number of initial individuals by using operator semigroup convergence theorems has been previously proved in Sriram et al (2007). An alternative proof is now provided making use of limit theorems for random step processes.

Un proceso de ramificación controlado (PRC) es una modificación del proceso estándar de Bienaymé-Galton-Watson en el que el número de progenitores en cada generación se determina mediante un mecanismo aleatorio. Consideramos un PRC empezando con un número aleatorio de individuos iniciales. El objetivo principal de este artículo es proporcionar una aproximación de la difusión de Feller para PRCs críticos. Sriram et al (2007) demostraron previamente un resultado similar considerarando un número fijo de individuos iniciales mediante el uso de teoremas de convergencia de semigrupos de operadores. Ahora se proporciona una prueba alternativa que utiliza teoremas límites para procesos de pasos aleatorios