Linearity of isometries between convex Jordan curves

Abstract

In this paper, we show that the C1-differentiability of the norm of a two-dimensional normed space depends only on distances between points of the unit sphere in two different ways. As a consequence, we see that any isometry between the spheres of normed planes τ : SX → SY is linear, provided that there exist linearly independent x, x ∈ SX where SX is not differentiable and that SX is piecewise differentiable. We end this work by showing that the isometry τ : CX → CY is linear even if it is not an isometry between spheres: every isometry between (planar) Jordan piecewise C1-differentiable convex curves extends to X whenever X and Y are strictly convex and the amount of non-differentiability points of their spheres is finite and greater than 2.

En este trabajo mostramos que la diferenciabilidad C1 de la norma de un espacio normalizado bidimensional depende sólo de las distancias entre los puntos de la esfera unitaria de dos maneras diferentes. Como consecuencia, vemos que cualquier isometría entre las esferas de los planos normalizados τ : SX → SY es lineal, siempre que existan x linealmente independientes, x§ SX donde SX no es diferenciable y que SX sea diferenciable por partes. Concluimos este trabajo mostrando que la isometría τ : CX → CY es lineal aunque no sea una isometría entre esferas: toda isometría entre curvas convexas (planas) Jordan en sentido de pieza C1-diferenciables se extiende a X siempre que X e Y sean estrictamente convexas y la cantidad de puntos de no diferenciabilidad de sus esferas sea finita y mayor que 2.