Estudio de la dinámica no lineal de una EDO para ondas superficiales en aguas poco profundas

Abstract

En este Trabajo de Fin de Grado se detalla el estudio de soluciones de tipo ondas viajeras acotadas para dos ecuaciones diferenciales ordinarias que modelan el comportamiento del perfil de una superficie acuosa en el límite de bajas profundidades, las ecuaciones de Camassa--Holm y Costantin--Lannes. Para ello, se trata de escribir las ecuaciones como un sistema Hamiltoniano plano bajo ciertos cambios de variables. Las soluciones compatibles con el ansatz introducido se resumen en ondas solitarias (o solitones) y ondas periódicas. Con el objetivo de fundamentar estos desarrollos se introduce la teoría necesaria sobre ecuaciones diferenciales y sistemas Hamiltonianos planos, así como algunos resultados relacionados con la búsqueda y propiedades de las raíces de polinomios con coeficientes reales. Además, la presencia de singularidades implica la existencia de soluciones débiles.

In this Bachelor's Thesis, the study about bounded traveling wave solutions of two ordinary differential equations, Camassa--Holm and Constantin--Lannes equations, which model the behavior of the surface of shallow water is detailed. With that aim, the differential equations are written as Hamiltonian planar systems after the corresponding changes of variables. The solutions fulfilling this ansatz can be summarized as solitary waves (or solitons) and periodic waves. The carried description is founded by the introduction of the basic results about differential equations and Hamiltonian planar systems, as well as some others about the finding and properties of the roots of polynomials with real coefficients. Furthermore, the presence of singularities implies the existence of weak solutions.