Curvas invariantes y ciclos límite en ecuaciones de Abel

Abstract

El estudio de ecuaciones y sistemas diferenciales es de enorme importancia en el ámbito científico, pues ellas permiten describir la evolución de fenómenos a lo largo del tiempo. Sin embargo, obtener la expresión explícita de las soluciones raramente es posible. El enfoque de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales busca describir lo más completamente posible a las soluciones. Las soluciones periódicas tienen una especial relevancia y, cuando son aisladas, se denominan ciclos límite. Describir los ciclos límite de sistemas polinómicos en dimensión dos es un problema abierto (problema XVI de Hilbert), lo que pone de manifiesto la dificultad del problema. Algunos de estos sistemas admiten un cambio de variable a una ecuación diferencial, relacionando las soluciones periódicas de ambos. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales de Abel. Es interesante, pero en absoluto trivial, estudiar el número de ciclos límite de las ecuaciones de Abel. El objetivo principal de la tesis consiste en obtener nuevos resultados sobre el número de ciclos límite de ciertas ecuaciones de Abel. En particular, utilizamos la información que nos aporta la presencia de curvas invariantes de cierto tipo que tiene la ecuación, y que resultan ser muy útiles para obtener criterios novedosos en la línea del objetivo perseguido. De este modo, en esta tesis se estudia información sobre el número de curvas invariantes de cierto tipo que pueden tener las ecuaciones de Abel, y el uso de esta información para obtener resultados sobre el número de ciclos límite.

The study of differential equations and systems is of enormous importance in the scientist environment, as they allow to describe the development of phenomena across time. However, it is rarely possible to obtain the explicit expressions of the solutions. The point of view of the qualitative theory of the differential equations tries to describe the solutions as completely as possible. The periodic solutions have special relevance and, when they are isolated, they are named limit cycles. It is an open problem to describe the limit cycles of a polynomial differential system of dimensión two (XVI Hilbert problem), what shows the challenges of the problem. Some of these systems admit a change of variable to a differential equation, setting a relationship between the periodic solutions of both. These equations are Abel differential equations. It is interesting, but not at all trivial, to study the number of limit cycles of the Abel equations. The main purpose of this thesis is to obtain new results about the number of limic cycles of certain Abel equations. In particular, we use the information provided by the existence of certain invariant curves of the equation, which is very useful to get new results in the line of the previously stated goals. Thus, in this thesis we study information about the number of invariant curves of certain kind that an Abel equation can have, and how to use this information to develop new results about the number of limit cycles of these equations.