Tensores de divergencia nula asociados a una métrica

Abstract

En esta tesis se estudian los invariantes locales que se pueden asociar a una métrica pseudo-Riemanniana. En particular, se trata de describir los espacios de invariantes tensoriales con divergencia nula. A continuación, se utiliza esta teoría para probar algunos teoremas sobre la fundamentación de las ecuaciones de campo de la Relatividad General y el Electromagnetismo, que son los resultados centrales de la memoria.

DESARROLLO TEÓRICO: El documento comienza con dos capítulos preliminares, en los que se analiza la definición de construcción local asociada a las métricas. La exposición presentada difiere de la que se encuentra en la literatura, de modo que se incluyen demostraciones completas de los resultados principales.

El tercer capítulo contiene una re-elaboración de los fundamentos de la teoría de tensores naturales asociados a las métricas. En particular, se prueba una fórmula original para el cálculo de tensores homogéneos asociados a una métrica y un campo auxiliar. Dicha fórmula, inspirada en un resultado de Stredder, se utiliza sistemáticamente en el resto de capítulos de la tesis.

El cuarto y quinto capítulos contienen los resultados fundamentales de la tesis. Se trata de sendas caracterizaciones del tensor de Einstein y del tensor de energía del campo magnético, respectivamente. La principal novedad de dichos resultados es la utilización de un argumento de análisis dimensional para caracterizar dichos tensores.

Cabe destacar también que, en el quinto capítulo, se da una interpretación del tensor de energía de una (p+2)-forma como el tensor de energía del campo electromagnético en una teoría de p-branas cargadas, interpretación que es original.

En el último capítulo se estudian, de modo sistemático, los tensores con divergencia nula construidos a partir de una métrica, usando segundas derivadas. El resultado más importante que se consigue es una generalización de un célebre teorema debido a Lovelock.

CONCLUSIÓN: La principal conclusión, a la vista de los resultados de los capítulos cuatro y cinco, es que las ecuaciones de campo de la relatividad y el electromagnetismo son, en cierto sentido, "las únicas posibles". En concreto, dichas ecuaciones se caracterizan por ser las únicas que poseen ciertas leyes de conservación (divergencia nula) y cuya dependencia de las unidades de escala es la que observamos en la gravitación newtoniana.

In this thesis, we study local invariants associated to a pseudo-Riemannian metric; in particular, we aim to describe the spaces of invariant tensors that are divergence-free. Then, we use this theory to prove some results concerning the foundations of the field equations of General Relativity and the Theory of Electromagnetism, that are the most significant theorems of the thesis.